Calcule os limites
lim x 0(11-cos x-1x)

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limxto0l(11-cos x-1xr)
O conteúdo envolvido é limite de função que apresenta forma “infinito menos infinito”. Para resolver, vamos reescrever como uma única fração e usar a expansão de Taylor de cos x em torno de x=0.

Passo 2

Vamos juntar as duas parcelas num único quociente:
11-cos x-1x =x-(1-cos x)x,(1-cos x)
Ou seja, numerador N(x)=x-1+cos x e denominador D(x)=x,(1-cos x).

Passo 3

Usamos a expansão de Taylor até a ordem mais baixa não-nula em x:
cos x = 1 - x^22 + O(x^4)
Então
N(x)=x - 1 + l(1 - x^22 + O(x^4)r) = x - x^22 + O(x^4),
D(x)=xl(x^22 + O(x^4)r) =x^32 + O(x^5)

Passo 4

Dividindo a série de N(x) pela de D(x):
N(x)D(x) =xl(1 - tfracx2 + O(x^3)r)tfracx^32l(1 + O(x^2)r) =2l(1 - tfracx2 + O(x^3)r)x^2l(1 + O(x^2)r) sim 2x^2(xto0)
Isso mostra que a expressão cresce sem limite quando x se aproxima de zero.

Passo 5

Como o termo dominante é dfrac2x^2, que tende a +infty de ambos os lados, concluímos que o limite diverge para +infty.

Resposta

limxto0l(11-cos x-1xr)=+infty

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