(1,0 ponto) A mudança de variáveis: lx=u v y=12(u^2-v^2), transformá a funçāo f(x, y) de classe C^2 na função g(u, v).
(i) Calcule partial gpartial u, partial gpartial v e partial^2 gpartial u partial v em função das derivadas de f (admita a igualdade das derivadas parciais mistas).
(ii) Se |nabla f(x, y)|^2=2, para todo x e y. determine as constantes a e b de modo que
a(partial gpartial u)^2-b(partial gpartial v)^2=u^2+v^2

Passo 1

Temos a mudança de variáveis definida por x=uv e y=\tfrac12(u2−v2), e queremos g(u,v)=f(x,y). O conteúdo principal é a aplicação da regra da cadeia para derivadas parciais e, em (ii), usar |∇f|^2=2.

Passo 2

Definindo g(u,v)=f(uv,\tfrac12(u2−v2)), aplicamos a regra da cadeia para obter ∂g/∂u. Como ∂x/∂u=v e ∂y/∂u=u, temos:
∂g∂u=fx(x,y),v + fy(x,y),u

Passo 3

Para ∂g/∂v usamos ∂x/∂v=u e ∂y/∂v=−v. Assim:
∂g∂v=fx(x,y),u − fy(x,y),v

Passo 4

Para a derivada mista ∂^2g/(∂u∂v) diferenciamos ∂g/∂u em relação a v, usando novamente a regra da cadeia em f_x e f_y:
∂^2g∂u∂v=fx+u,v,(fxx−fyy)+(u^2−v^2),fxy,
onde todos os coeficientes de f derivadas são avaliados em (x=uv,y=\tfrac12(u2−v2)).

Passo 5

No item (ii), usando g_u=v f_x+u f_y e g_v=u f_x−v f_y e sabendo que f_x2+f_y2=2, calculamos a(g_u)2−b(g_v)2 e igualamos a u2+v2. Isso leva a exigir a+b=0 e 2a=1, logo a=1/2 e b=−1/2.

Resposta

∂g∂u=v,fx+u,fy, ∂g∂v=u,fx−v,fy, ∂^2g∂u∂v=fx+u,v(fxx−fyy)+(u^2−v^2)fxy; e a=tfrac12, b=−tfrac12.

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