(1,0 ponto) A mudança de variáveis:
, transformá a funçāo
de classe
na função
.
(i) Calcule
e
em função das derivadas de
(admita a igualdade das derivadas parciais mistas).
(ii) Se
, para todo
e
. determine as constantes
e
de modo que
(i) Calcule
(ii) Se
Passo 1
Temos a mudança de variáveis definida por x=uv e y=\tfrac12(u2−v2), e queremos g(u,v)=f(x,y). O conteúdo principal é a aplicação da regra da cadeia para derivadas parciais e, em (ii), usar |∇f|^2=2.
Passo 2
Definindo g(u,v)=f(uv,\tfrac12(u2−v2)), aplicamos a regra da cadeia para obter ∂g/∂u. Como ∂x/∂u=v e ∂y/∂u=u, temos:
Passo 3
Para ∂g/∂v usamos ∂x/∂v=u e ∂y/∂v=−v. Assim:
Passo 4
Para a derivada mista ∂^2g/(∂u∂v) diferenciamos ∂g/∂u em relação a v, usando novamente a regra da cadeia em f_x e f_y:
onde todos os coeficientes de f derivadas são avaliados em (x=uv,y=\tfrac12(u2−v2)).
Passo 5
No item (ii), usando g_u=v f_x+u f_y e g_v=u f_x−v f_y e sabendo que f_x2+f_y2=2, calculamos a(g_u)2−b(g_v)2 e igualamos a u2+v2. Isso leva a exigir a+b=0 e 2a=1, logo a=1/2 e b=−1/2.