Calcule os limites
lim x 0(11-cos x-2x^2)

Passo 1

O enunciado pede calcular
limxto0l(11-cos x-2x^2r)
Aqui vamos usar séries de Taylor de funções trigonométricas para aproximar cada parcela perto de x=0.

Passo 2

Recordando a expansão de Taylor de cos x até a ordem x^4:
cos x = 1 - x^22 + x^424 + O(x^6)

Passo 3

Com isso obtemos
1 - cos x = x^22 - x^424 + O(x^6) = x^22l(1 - x^212 + O(x^4)r)

Passo 4

Invertendo essa expressão:
11-cos x = 1x^22l(1 - x^212 + O(x^4)r) = 2x^2cdot11 - x^212 + O(x^4) = 2x^2l(1 + x^212 + O(x^4)r) = 2x^2 + 16 + O(x^2)

Passo 5

Agora basta subtrair tfrac2x^2:
11-cos x - 2x^2 = 16 + O(x^2) ;longrightarrow; 16 quando xto0

Resposta

16

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