Calcule os limites
lim x +infty x(e-(1+1x)^x)

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limxto+infty xl(e - (1+tfrac1x)^xr)
O conteúdo envolvido é expansão em séries (ou uso de exponencial e logaritmo) para aproximar (1+1/x)^x quando x é grande.

Passo 2

Escrevemos
(1+tfrac1x)^x = expl(xln(1+tfrac1x)r)
e usamos a expansão de série para ln(1+u) com u=1/x:
ln(1+tfrac1x)=tfrac1x - tfrac12x^2+O(tfrac1x^3)
Multiplicando por x obtemos
xln(1+tfrac1x)=1 - tfrac12x+O(tfrac1x^2),
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(1+tfrac1x)^x = e;expl(-tfrac12x+O(tfrac1x^2)r)

Passo 3

Agora expandimos exp(-1/(2x)+O(1/x^2)) em série:
expl(-tfrac12x+O(tfrac1x^2)r) =1 - tfrac12x+O(tfrac1x^2)
Portanto
(1+tfrac1x)^x = el(1 - tfrac12x + O(tfrac1x^2)r) Longrightarrow e - (1+tfrac1x)^x = el(tfrac12x + O(tfrac1x^2)r)

Passo 4

Multiplicando por x
xl(e - (1+tfrac1x)^xr) = el(tfrac12 + O(tfrac1x)r)
Fazendo xto+infty, o termo O(1/x) vai a zero, restando
limxto+infty xl(e-(1+tfrac1x)^xr) =e2

Resposta

e2

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