Questão 2)
A aplicação
T: R^2 longrightarrow R^2 dada por T(x, y)=(-x,-y) para qualquer (x, y) in R^2,
é uma transformação linear, chamada de reflexão na origem. Determine, caso exista, seus autovalores e autovetores.

Passo 1

Neste exercício, temos a transformação linear T:R^2toR^2 definida por T(x,y)=(-x,-y). Precisamos encontrar todos os escalar lambda e vetores não nulos v tais que T(v)=lambda v. O conteúdo aqui é autovalores e autovetores de uma transformação linear.

Passo 2

Pela definição, se v=(x,y) é um autovetor associado a um autovalor lambda, então devemos ter
T(x,y)=( -x,-y )=lambda(x,y)
Isso implica que para cada componente:
-x=lambda x
-y=lambda y

Passo 3

Para resolver essas equações, observe que em cada uma temos:
-x=lambda ximplies (lambda+1)x=0
-y=lambda yimplies (lambda+1)y=0
Para existir vetor não nulo (x,y), precisamos que lambda+1=0, ou seja:
lambda=-1

Passo 4

Com lambda=-1, qualquer vetor (x,y)neq(0,0) satisfaz:
T(x,y)=(-x,-y)=(-1)(x,y),
portanto todo vetor não nulo de R^2 é autovetor associado a lambda=-1.

Passo 5

Concluímos que o único autovalor é -1 (com multiplicidade 2) e seu espaço próprio é todo R^2 menos o vetor nulo, isto é, todos os vetores não nulos são autovetores.

Resposta

Autovalor: lambda=-1. Autovetores: todos os vetores não nulos (x,y)inR^2.

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