Questão 2)
A aplicação
é uma transformação linear, chamada de reflexão na origem. Determine, caso exista, seus autovalores e autovetores.
A aplicação
Passo 1
Neste exercício, temos a transformação linear
definida por
. Precisamos encontrar todos os escalar
e vetores não nulos
tais que
. O conteúdo aqui é autovalores e autovetores de uma transformação linear.
Passo 2
Pela definição, se
é um autovetor associado a um autovalor
, então devemos ter
Isso implica que para cada componente:
Passo 3
Para resolver essas equações, observe que em cada uma temos:
Para existir vetor não nulo
, precisamos que
, ou seja:
Passo 4
Com
, qualquer vetor
satisfaz:
portanto todo vetor não nulo de
é autovetor associado a
.
Passo 5
Concluímos que o único autovalor é
(com multiplicidade 2) e seu espaço próprio é todo
menos o vetor nulo, isto é, todos os vetores não nulos são autovetores.
Resposta
Autovalor:
. Autovetores: todos os vetores não nulos
.