Questão 2)
A aplicação T: R^2 longrightarrow R^2 dada por T(x, y)=(y, x) para qualquer (x, y) in R^2, admite vetor próprio? Justifique.

Passo 1

O enunciado define a transformação linear Tcolon R^2toR^2 dada por
T(x,y)=(y,x)
A tarefa é verificar se existem vetores próprios (autovetores) e quais são eles. O conteúdo usado aqui é o de autovalores e autovetores de uma aplicação linear.

Passo 2

Um vetor próprio (x,y)neq(0,0) e seu valor próprio lambda satisfazem
T(x,y)=(y,x)=(lambda x,;lambda y)
Isso gera o sistema de equações
y=lambda x, x=lambda y

Passo 3

Da segunda equação x=lambda y e da primeira y=lambda x vem
x=lambda(lambda x)=lambda^2 x
Como queremos (x,y)neq(0,0), pelo menos xneq0 (ou yneq0), segue
lambda^2=1 Longrightarrow lambda=1oulambda=-1

Passo 4

Para cada valor de lambda encontramos o vetor próprio:
  • Se lambda=1, da equação y=lambda x vem y=x. Logo os vetores próprios são todos da forma (x,x) com xneq0.
  • Se lambda=-1, da equação y=lambda x vem y=-x. Logo os vetores próprios são todos da forma (x,-x) com xneq0.

Passo 5

Concluímos que existem vetores próprios não-triviais para lambda=1 e lambda=-1.

Resposta

Sim. Os valores próprios são lambda1=1 com vetores próprios proporcionais a (1,1) e lambda2=-1 com vetores próprios proporcionais a (1,-1).

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