Questão 2)
A aplicação
dada por
para qualquer
, admite vetor próprio? Justifique.
A aplicação
Passo 1
O enunciado define a transformação linear
dada por
A tarefa é verificar se existem vetores próprios (autovetores) e quais são eles. O conteúdo usado aqui é o de autovalores e autovetores de uma aplicação linear.
Passo 2
Um vetor próprio
e seu valor próprio
satisfazem
Isso gera o sistema de equações
Passo 3
Da segunda equação
e da primeira
vem
Como queremos
, pelo menos
(ou
), segue
Passo 4
Para cada valor de
encontramos o vetor próprio:
- Se
, da equação vem . Logo os vetores próprios são todos da forma com . - Se
, da equação vem . Logo os vetores próprios são todos da forma com .
Passo 5
Concluímos que existem vetores próprios não-triviais para
e
.
Resposta
Sim. Os valores próprios são
com vetores próprios proporcionais a
e
com vetores próprios proporcionais a
.