Determine se os campos são conservativos e determine a função potencial:
F(x, y)=(ln (y^2+1)+y^3+y, 2 y(x-1)y^2+1+arctan x).

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial
F(x,y) = l(P(x,y),,Q(x,y)r) = l(lnl(y^2+1r)+y^3+y,;2y,(x-1)y^2+1+arctan xr)
e pede para verificar se é conservativo e, em caso positivo, achar uma função potencial. O conteúdo aqui é teoria de campos conservativos: um campo em R^2 é conservativo se o domínio for simplesmente conectado e se
partial Ppartial y ;=;partial Qpartial x

Passo 2

Calculamos partial P/partial y. Como
P(x,y)=lnl(y^2+1r)+y^3+y,
temos
partial Ppartial y =2yy^2+1+3y^2+1

Passo 3

Agora calculamos partial Q/partial x. Como
Q(x,y)=2y,(x-1)y^2+1+arctan x,
derivando em x vem
partial Qpartial x =2yy^2+1+11+x^2

Passo 4

Comparamos as duas derivadas mistas:
partial Ppartial y = 2yy^2+1+3y^2+1, partial Qpartial x = 2yy^2+1+11+x^2
Elas não coincidem em função de x e y, pois 3y^2+1neq tfrac11+x^2 em geral. Logo o campo não satisfaz a condição de irrotacional.

Resposta

O campo não é conservativo e, portanto, não existe função potencial definida em todo R^2.

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