Calcule os limites
lim x -1 raiz[3]x+1x+1

Passo 1

O enunciado pede o limite
limxto -1raiz[3]x+1x+1,
que é uma indeterminação do tipo 0/0. Para resolver, vamos usar a fatoração de soma de cubos, pois x+1 = (raiz[3]x)^3 + 1^3.

Passo 2

Verificamos a forma indeterminada:
raiz[3]-1+1 = -1+1 = 0 e -1+1=0.
Logo, temos 0/0 e podemos fatorar o denominador usando a identidade
a^3+b^3 = (a+b),(a^2 - a b + b^2)

Passo 3

Aplicando a identidade com a=raiz[3]x e b=1, obtemos
x+1 = (raiz[3]x)^3 + 1^3 = l(raiz[3]x+1r)l((raiz[3]x)^2 - raiz[3]xcdot1 + 1^2r)
Portanto,
raiz[3]x+1x+1 = raiz[3]x+1 l(raiz[3]x+1r)l((raiz[3]x)^2 - raiz[3]x + 1r) = 1(raiz[3]x)^2 - raiz[3]x + 1

Passo 4

Agora basta avaliar em x=-1. Como raiz[3]-1=-1, temos
(raiz[3]x)^2 - raiz[3]x + 1 gr|x=-1 = (-1)^2 -(-1) + 1 = 1 + 1 + 1 = 3
Logo o limite é
limxto -1raiz[3]x+1x+1 = 13

Resposta

13

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