Um cubo com aresta a tem uma carga q pontual em cada um de seus vértices. Calcule o módulo e a orientação da força elétrica em cada uma das cargas.

Passo 1

O enunciado pede a força resultante sobre uma carga q situada em um vértice de um cubo de aresta a, devido às outras sete cargas idênticas, também q, nos demais vértices.
Conteúdo: lei de Coulomb e soma vetorial de forças usando simetria. Vamos posicionar esse vértice na origem e as demais cargas em coordenadas cartesianas para somar as contribuições individuais.

Passo 2

Escolhemos o vértice de interesse em (0,0,0). As três cargas mais próximas ficam em
(a,0,0),(0,a,0),(0,0,a),
cada uma a distância a. Pela lei de Coulomb, a força de uma única dessas sobre a carga na origem vale
Frm aresta=14pivarepsilon0q^2a^2
e aponta ao longo dos eixos negativos x, y ou z. Somando as três:
Frm arestas =14pivarepsilon0q^2a^2l(-i-j-kr)

Passo 3

As três cargas a seguir estão em distâncias de face-diagonal, ou seja, em
(a,a,0),;(a,0,a),;(0,a,a),
cada uma a raiz2,a. A magnitude de cada força é
14pivarepsilon0q^2(raiz2,a)^2 =14pivarepsilon0q^22a^2,
e o vetor unitário de cada é, por exemplo, para (a,a,0),
l(-i-jr)/raiz2. Somando as três cargas de face-diagonal resulta
Frm faces =14pivarepsilon0q^22a^2,-1raiz2l[,(i+j)+(i+k)+(j+k)r] =14pivarepsilon0q^2raiz2,a^2l(-i-j-kr)

Passo 4

A última carga está em (a,a,a), a distância raiz3,a. Sua contribuição é
Frm diag =14pivarepsilon0q^2(raiz3,a)^2,-l(i+j+kr)raiz3 =14pivarepsilon0q^23raiz3,a^2l(-i-j-kr)

Passo 5

Somando as três parcelas vetoriais, todas paralelas a -(i+j+k):
Frm total =l(-i-j-kr)14pivarepsilon0q^2a^2l[1+1raiz2+13raiz3r]
O módulo é
F =14pivarepsilon0q^2a^2,raiz(-1)^2+(-1)^2+(-1)^2 ;l[1+tfrac1raiz2+tfrac13raiz3r] =14pivarepsilon0q^2a^2,raiz3;l[1+tfrac1raiz2+tfrac13raiz3r]
A direção é ao longo da diagonal principal do cubo, do vértice considerado em direção ao centro do cubo.

Resposta

boxedF=14pivarepsilon0,q^2a^2,raiz3l(1+1raiz2+13raiz3r),
e a orientação é ao longo da diagonal que liga o vértice ao centro do cubo.

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