Encontre o limite.
lim x infty raizx^2+3 x+1-x

Passo 1

O exercício pede o cálculo do limite
limxtoinftyl(raizx^2+3x+1-xr)
Isso é um caso clássico de forma indeterminada infty-infty em limites no infinito, e vamos usar a técnica do conjugado para resolver.

Passo 2

Para eliminar a indeterminação, multiplicamos e dividimos pela expressão conjugada raizx^2+3x+1+x:
raizx^2+3x+1-x =l(raizx^2+3x+1-xr)l(raizx^2+3x+1+xr)raizx^2+3x+1+x =x^2+3x+1 - x^2raizx^2+3x+1+x =3x+1raizx^2+3x+1+x

Passo 3

Agora podemos simplificar dividindo numerador e denominador por x, que é positivo quando xtoinfty:
3x+1raizx^2+3x+1+x =xl(3+tfrac1xr)xl(raiz1+tfrac3x+tfrac1x^2+1r) =3+tfrac1xraiz1+tfrac3x+tfrac1x^2+1

Passo 4

Por fim, ao deixar xtoinfty, os termos 1/x, 3/x e 1/x^2 tendem a zero. Logo, temos
limxtoinfty3+tfrac1xraiz1+tfrac3x+tfrac1x^2+1 =3+0raiz1+0+0+1 =31+1 =32

Resposta

tfrac32

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