Calcule os limites
lim x -infty(raizx^2+3 x+2-x)

Passo 1

O enunciado pede calcular
limxto -inftyl(raizx^2+3x+2-xr).
O conteúdo aqui é limite no infinito envolvendo raiz quadrada, e vamos usar a técnica de racionalização seguida de expansão assintótica.

Passo 2

Racionalizamos o termo subtraído pela raiz multiplicando e dividindo por raizx^2+3x+2+x:
raizx^2+3x+2-x = l(raizx^2+3x+2-xr)l(raizx^2+3x+2+xr)raizx^2+3x+2+x = x^2+3x+2 - x^2raizx^2+3x+2+x = 3x+2raizx^2+3x+2+x

Passo 3

Para xto -infty temos raizx^2+3x+2=|x|raiz1+tfrac3x+tfrac2x^2=-xraiz1+tfrac3x+tfrac2x^2.
Então o denominador fica
raizx^2+3x+2+x = -xraiz1+tfrac3x+tfrac2x^2 + x = -xl(raiz1+tfrac3x+tfrac2x^2-1r)
Expandindo em série para xto -infty:
raiz1+tfrac3x+tfrac2x^2 = 1+32x+O!l(tfrac1x^2r),
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raizx^2+3x+2+x = -xl(32x+O!l(tfrac1x^2r)r) = -32 + O!l(tfrac1xr) ;xrightarrow[xto-infty]; -tfrac32
Enquanto isso, o numerador 3x+2to -infty.

Passo 4

Como
3x+2raizx^2+3x+2+x ;sim;-infty-3/2 ;=;+infty,
concluímos que
limxto -inftyl(raizx^2+3x+2-xr) =+infty

Resposta

+infty

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