Determine se o campo potencial F é ou não um campo conservativo.
F(x, y)=(ln (y^2+1)) i+(2 y(x-1)y^2+1) j

Passo 1

O enunciado dá o campo
F(x,y)=(P,Q) com
P(x,y)=lnl(y^2+1r), Q(x,y)=2y,(x-1)y^2+1
Queremos ver se F é conservativo. Num domínio simplesmente conectado (aqui R^2), basta verificar se
partial P/partial y=partial Q/partial x.

Passo 2

Calculemos as derivadas parciais:
partial Ppartial y =partialpartial ylnl(y^2+1r) =2yy^2+1,
partial Qpartial x =partialpartial x2y,(x-1)y^2+1 =2yy^2+1

Passo 3

Como
partial Ppartial y=partial Qpartial x
em todo R^2 e o domínio é simplesmente conectado, concluímos que F é um campo conservativo.

Passo 4

Para achar uma função potencial phi(x,y), integramos P em relação a x:
phi(x,y)=integral lnl(y^2+1r),dx =x,lnl(y^2+1r)+g(y),
onde g(y) é função a determinar.

Passo 5

Diferenciamos phi em y e igualamos a Q:
partial phipartial y =xcdot2yy^2+1+g'(y) stackrel!=2y,(x-1)y^2+1 =xcdot2yy^2+1-2yy^2+1
Logo
g'(y)=-2yy^2+1 Longrightarrow g(y)=-lnl(y^2+1r)+C
Substituindo em phi,
phi(x,y) =x,lnl(y^2+1r)-lnl(y^2+1r)+C =(x-1),lnl(y^2+1r)+C

Resposta

F é conservativo e uma função potencial é
phi(x,y)=(x-1),lnl(y^2+1r)+C

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