Seja f(x)=t e^2 tln (3 t+e). Calcule f^prime(0).

Passo 1

Estamos com a função f(t)=dfract e^2tln(3t+e) e queremos calcular f'(0). O conteúdo aqui é derivada e limites: podemos usar a definição de derivada no ponto 0 ou a regra do quociente.

Passo 2

Primeiro, calculamos f(0):
f(0)=0cdot e^0ln(e)=0
Como f(0)=0, pela definição de derivada em zero temos
f'(0)=limtto0f(t)-f(0)t = limtto0f(t)t

Passo 3

Substituindo f(t) dentro do limite, obtemos
f'(0)=limtto0t e^2tt,ln(3t+e) = limtto0e^2tln(3t+e)
Agora basta avaliar o limite diretamente no ponto t=0:
numeradorto e^0=1,
denominadorto ln(e)=1
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f'(0)=11=1

Resposta

1

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