Utilize a definição formal para mostrar que:
lim x 2(3 x+1)=7.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, usando a definição formal de limite (épsilon-delta), que
limxto 2l(3x+1r)=7
Aqui o conteúdo é a prova de limite de função polinomial pelo método épsilon-delta: precisamos, dado qualquer varepsilon>0, encontrar um de<a>0 tal que, sempre que 0<|x-2|<de<a, valha |(3x+1)-7|<varepsilon.

Passo 2

Lembrando a definição formal: dizemos que limxto 2f(x)=L se, para todo varepsilon>0, existe de<a>0 tal que
0<|x-2|<de<a Longrightarrow |f(x)-L|<varepsilon
No nosso caso, f(x)=3x+1 e L=7.

Passo 3

Calculamos a diferença:
|f(x)-L| =|,3x+1-7| =|,3x-6| =3,|x-2|
Para garantir 3,|x-2|<varepsilon basta escolher
de<a = varepsilon3
Então, sempre que 0<|x-2|<de<a, temos
|f(x)-7| = 3,|x-2| < 3,de<a = 3cdotvarepsilon3 = varepsilon

Resposta

Para todo varepsilon>0, escolhendo de<a=varepsilon/3 garante-se que 0<|x-2|<de<a implique |3x+1-7|<varepsilon. Portanto,
limxto 2(3x+1)=7

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