Utilize a definição formal para mostrar que:
lim x 0 x^5=0.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, usando a definição formal de limite ( epsilon- de<a), que
limxto 0 x^5 = 0
O conteúdo é a definição de limite de função real em ponto e vamos precisar lembrar que devemos, para cada epsilon>0, encontrar de<a>0 tal que sempre que lvert x-0rvert<de<a então lvert x^5-0rvert<epsilon.

Passo 2

Definição formal: dizemos que limxto 0x^5=0 se, para todo epsilon>0, existe de<a>0 tal que
se lvert x-0rvert<de<a então lvert x^5-0rvert<epsilon ã

Passo 3

Observe que
lvert x^5 - 0rvert = lvert xrvert^5
Queremos então garantir lvert xrvert^5<epsilon sempre que lvert xrvert<de<a.

Passo 4

Para ter lvert xrvert^5<epsilon basta escolher de<a tal que
de<a^5 = epsilon,
ou seja
de<a = epsilon^1/5
Note que de<a>0 sempre que epsilon>0.

Passo 5

Agora verificamos: se lvert xrvert<de<a então
lvert x^5rvert = lvert xrvert^5 < de<a^5 = epsilon,
o que é exatamente a condição exigida pela definição formal.

Passo 6

Concluímos que para cada epsilon>0 podemos tomar de<a=epsilon^1/5 e obter lvert x^5-0rvert<epsilon sempre que lvert xrvert<de<a. Logo, pela definição de limite,

Resposta

limxto 0 x^5 = 0

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