Calcule os limites abaixo:
lim x 0 x^4 cos ^2(2x^3)

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limxto0 x^4cos^2l(tfrac2x^3r).
O conteúdo principal aqui é o Teorema do Confronto (ou “squeeze theorem”), explorando que cos^2 é uma função oscilante, mas limitada entre 0 e 1.

Passo 2

Observamos que, para todo valor real de t, vale
0 ;<=; cos^2(t);<=;1
Fazendo t=tfrac2x^3, temos
0 ;<=; cos^2!l(tfrac2x^3r);<=;1
Multiplicando essa desigualdade por x^4 (que é não negativa quando x está próximo de zero), obtemos
0 ;<=; x^4,cos^2!l(tfrac2x^3r);<=; x^4

Passo 3

Agora, calculamos os limites das funções que aparecem nas bordas do confronto:
limxto00 = 0 e limxto0x^4 = 0
Pelo Teorema do Confronto, a função intermediária também tende a esse mesmo valor.

Resposta

limxto0 x^4cos^2!l(tfrac2x^3r) = 0

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