Seja f uma função tal que
lll x^5-4 x^4+3 x^3+2 x^2-4 x <= f(x) <= x^4-4 x^3+x^2+4 x-4 & para & x<-1 x^4-4 x^3+x^2+4 x-4 <= f(x) <= x^5-4 x^4+3 x^3+2 x^2-4 x & para & x>-1
Determine os limites abaixo, caso seja possível.
lim x -1 f(x).

Passo 1

O enunciado dá uma função f que satisfaz desigualdades diferentes para x<-1 e para x>-1, envolvendo dois polinômios. Pede-se limxto -1f(x).
Para resolver, vamos usar o Teorema do Confronto (Princípio da Compressão): se duas funções que enredam f(x) têm o mesmo limite em xto -1, então f(x) também tende a esse valor.

Passo 2

Definimos os polinômios que servem de limites inferior e superior em cada lado de -1:
p(x) = x^5 - 4x^4 + 3x^3 + 2x^2 - 4x,
q(x) = x^4 - 4x^3 + x^2 + 4x - 4
Para x<-1 temos
p(x) ;<=; f(x);<=; q(x),
e para x>-1 invertem-se as posições:
q(x) ;<=; f(x);<=; p(x)

Passo 3

Calculamos p(-1) e q(-1):
p(-1) = (-1)^5 - 4(-1)^4 + 3(-1)^3 + 2(-1)^2 - 4(-1) = -1 -4 -3 +2 +4 = -2,
q(-1) = (-1)^4 - 4(-1)^3 + (-1)^2 + 4(-1) -4 = 1 +4 +1 -4 -4 = -2
Portanto, ambos os polinômios tendem a -2 quando xto -1.

Passo 4

Pelo Teorema do Confronto, como
limxto -1^-p(x) =limxto -1^-q(x) =limxto -1^+p(x) =limxto -1^+q(x) =-2,
seguindo as desigualdades acima, temos
limxto -1f(x) = -2

Resposta

-2

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