Use as proposições vistas em aula para encontrar a transformada de Laplace das seguintes funções
y(t)=t^2 e^2 t

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace de y(t)=t^2e^2t. O conteúdo é transformada de Laplace, e vamos precisar de duas propriedades vistas em aula:
  1. a transformada de Laplace de t^n, e
  2. a propriedade de deslocamento na variável s para o fator e^at.

Passo 2

A primeira propriedade é
Lt^n(s)=integral0^inftyt^n e^-st,dt=n!s^,n+1,
válida para Re(s)>0. No nosso caso n=2, logo a transformada de t^2 será tfrac2!s^3=tfrac2s^3.

Passo 3

A segunda propriedade é o deslocamento no domínio de s:
Le^atf(t)(s)=F(s-a),
onde F(s)=Lf(t)(s) e a região de convergência se desloca para Re(s)>a.

Passo 4

Aplicando ao nosso problema, temos primeiro
F(s)=Lt^2(s)=2s^3

Passo 5

Em seguida, como temos e^2tt^2, fazemos o deslocamento smapsto s-2:
Lt^2e^2t(s) =F(s-2) =2(s-2)^3
A região de convergência passa a ser Re(s)>2.

Resposta

Lt^2e^2t(s)=2(s-2)^3, Re(s)>2

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