Verifique se as sequências a seguir são convergentes e, em caso afirmativo, determine o seu limite. (Dica: Use técnicas algébricas, como divisão pelo termo de maior grau ou fator dominante.)
an=n-raizn^2-4 n

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra ver se a sequência
an = n - raizn^2 - 4n
converge quando ntoinfty e, se convergir, achar o limite.
Conteúdo: limite de sequência e técnica algébrica (racionalização ou fator dominante).
O que vamos precisar:
  • Entender o que significa “sequência convergente”.
  • Usar fator dominante ou racionalizar a expressão para facilitar o cálculo do limite.

Passo 2

Pra resolver de fato, uma manha clássica é racionalizar a diferença n - raizn^2-4n.
Multiplicamos e dividimos por n + raizn^2-4n:
an = n - raizn^2-4n = l(n - raizn^2-4nr),l(n + raizn^2-4nr)n + raizn^2-4n = n^2 - (n^2 - 4n)n + raizn^2-4n = 4n,n + raizn^2-4n,

Passo 3

Agora usamos o fator dominante n. Dividimos numerador e denominador por n:
an = 4n,n + raizn^2-4n, = 4,cancelncancelnl(1 + raiz1 - tfrac4nr) = 41 + raiz1 - tfrac4n
Quando ntoinfty, o termo tfrac4nto 0, logo
raiz1 - tfrac4n ;longrightarrow; raiz1 = 1
Assim
an ;longrightarrow; 41 + 1 = 42 = 2

Resposta

A sequência converge e seu limite é 2.

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