Calcule os limites abaixo
lim x infty 9 xraiz[4]5 x^2+6

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limx to infty 9xraiz[4]5x^2+6
O conteúdo envolvido é limite de tipo infty/infty, e vamos usar propriedades de radicais e fatoração de potências de x. Lembre que
raiz[n]x^m = x^m/n, x>0

Passo 2

Observamos que, quando xtoinfty, tanto o numerador quanto o denominador crescem sem limite, caracterizando uma forma indeterminada infty/infty. Para resolver, fatoramos a maior potência de x que aparece dentro da raiz no denominador.

Passo 3

Dentro da raiz de quarto grau temos 5x^2+6. Fatorando x^2 obtemos
raiz[4]5x^2+6 = raiz[4]x^2l(5 + tfrac6x^2r) = raiz[4]x^2,raiz[4]5 + tfrac6x^2 = x^1/2,raiz[4]5 + tfrac6x^2

Passo 4

Substituindo essa fatoração na expressão do limite, temos
9xraiz[4]5x^2+6 = 9x,x^1/2,raiz[4]5 + tfrac6x^2 = 9,x^1/2raiz[4]5 + tfrac6x^2
Quando xtoinfty vale tfrac6x^2to0, logo
raiz[4]5 + tfrac6x^2;longrightarrow;raiz[4]5
Assim a expressão comporta-se como
9,x^1/2raiz[4]5;longrightarrow;infty,
pois x^1/2toinfty.

Resposta

limx to infty 9xraiz[4]5x^2+6 = +infty

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