Nos Exercícios de 1 a 8, use uma representação paramétrica de
ou dos arcos de
para calcular
e
é o arco de
até
consistindo no semicírculo
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que resolver uma integral de função complexa. A função que vamos integrar é
e o caminho
é um arco semicircular que vai de
até
. Esse arco é descrito pela equação
onde
. Ou seja, é um semicírculo centrado em 1 no plano complexo. Para resolver essa integral, vamos precisar usar a representação paramétrica do caminho
e algumas noções básicas de cálculo complexo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor a parametrização do caminho
. A equação
descreve um círculo de raio 1 centrado em
no plano complexo. O parâmetro
varia de
a
, o que significa que estamos percorrendo o semicírculo de baixo para cima, começando em
(quando
) e indo até
(quando
).
Passo 3
Agora, vamos expressar
em termos dessa parametrização. Sabemos que
, então substituindo
pela expressão parametrizada:
Então,
simplifica pra
.
Passo 4
Precisamos também encontrar
em termos de
. Derivando
em relação a
:
Então,
.
Passo 5
Agora, vamos montar a integral usando a parametrização. A integral original é:
Substituindo
e
que encontramos:
Passo 6
Vamos calcular essa integral. Sabemos que:
Aplicando isso na nossa integral:
Simplificando
e sabendo que
:
Resposta
A integral
vale 0.