Nos Exercícios de 1 a 8, use uma representação paramétrica de C ou dos arcos de C para calcular
integralC f(z) d z
f(z)=z-1 e C é o arco de z=0 até z=2 consistindo no semicírculo z=1+e^i theta(pi <= theta <= 2 pi);

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que resolver uma integral de função complexa. A função que vamos integrar é f(z) = z - 1 e o caminho C é um arco semicircular que vai de z = 0 até z = 2 . Esse arco é descrito pela equação z = 1 + e^itheta onde pi <= theta <= 2pi . Ou seja, é um semicírculo centrado em 1 no plano complexo. Para resolver essa integral, vamos precisar usar a representação paramétrica do caminho C e algumas noções básicas de cálculo complexo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a parametrização do caminho C . A equação z = 1 + e^itheta descreve um círculo de raio 1 centrado em z = 1 no plano complexo. O parâmetro theta varia de pi a 2pi , o que significa que estamos percorrendo o semicírculo de baixo para cima, começando em z = 0 (quando theta = pi ) e indo até z = 2 (quando theta = 2pi ).

Passo 3

Agora, vamos expressar f(z) em termos dessa parametrização. Sabemos que f(z) = z - 1 , então substituindo z pela expressão parametrizada:
f(z) = (1 + e^itheta) - 1 = e^itheta
Então, f(z) simplifica pra e^itheta .

Passo 4

Precisamos também encontrar dz em termos de theta . Derivando z(theta) em relação a theta :
dz = dzdtheta dtheta = ddtheta(1 + e^itheta) dtheta = i e^itheta dtheta
Então, dz = i e^itheta dtheta .

Passo 5

Agora, vamos montar a integral usando a parametrização. A integral original é:
integralC f(z) , dz = integralpi^2pi f(z(theta)) cdot dzdtheta , dtheta
Substituindo f(z) e dz que encontramos:
integralpi^2pi e^itheta cdot i e^itheta , dtheta = i integralpi^2pi e^itheta cdot e^itheta , dtheta = i integralpi^2pi e^2itheta , dtheta

Passo 6

Vamos calcular essa integral. Sabemos que:
integral e^ktheta , dtheta = 1k e^ktheta + C
Aplicando isso na nossa integral:
i integralpi^2pi e^2itheta , dtheta = i [ 12i e^2itheta ]pi^2pi = i2i ( e^4ipi - e^2ipi )
Simplificando i2i = 12 e sabendo que e^2ipi = e^4ipi = 1 :
12 (1 - 1) = 0

Resposta

A integral integralC (z - 1) , dz vale 0.

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