(a) Mostre que y_{1}(x)=x^{2} e y_{2}(x)=x^{5} são soluções da equação
x^{2} y^{\prime \prime}-6 x y^{\prime}+10 y=0 .
(b) Obtenha a solução do problema de valor inicial
\left\{\begin{array}{l} x^{2} y^{\prime \prime}-6 x y^{\prime}+10 y=0 \\\ y(1)=3 \\\ y^{\prime}(1)=3 \end{array}\right.
Justifique sua resposta!

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
x^{2}y''-6x y'+10y=0
e pede duas coisas:
  • (a) Mostrar que \;y_{1}(x)=x^{2}\;\) e \(\;y_{2}(x)=x^{5}\;\) são soluções dessa equação. - (b) Resolver o problema de valor inicial \[\begin{cases} x^{2}y''-6x y'+10y=0,\\[4pt] y(1)=3,\\[4pt] y'(1)=3. \end{cases}
Informações relevantes fornecidas: a equação é dada com coeficientes que são potências de x\] (termo \(x^{2} multiplicando y'', termo x multiplicando y'), e as condições iniciais são fornecidas em x=1.]

Passo 2

Escolha do método e ideia principal (explicação didática curta).
Quando os coeficientes de uma equação linear de segunda ordem têm a forma de potências de x (como x^{2},x, constantes), uma estratégia muito eficiente é tentar soluções do tipo potência:
y(x)=x^{r},
onde r é um número a determinar. Isso porque derivadas de x^{r} voltam a ser múltiplos de x^{r}, o que transforma a equação diferencial em uma equação algébrica para r — a chamada equação indicial ou caráterística para equações de Euler-Cauchy. Vou aplicar essa ideia ao problema.

Passo 3

Derivar a equação indicial substituindo y=x^{r}.
Calcule as derivadas:
y=x^{r},\qquad y'=r x^{r-1},\qquad y''=r(r-1)x^{r-2}.
Substituindo na equação
x^{2}y''-6x y'+10y=0
obtemos (cada termo multiplicado por x^{r}):
x^{2}\bigl(r(r-1)x^{r-2}\bigr)-6x\bigl(r x^{r-1}\bigr)+10\bigl(x^{r}\bigr)=0.
Fatorando x^{r} (que para x\neq0 é não nulo) chegamos à equação algébrica
r(r-1)-6r+10=0.

Passo 4

Resolver a equação característica para r.
Desenvolvendo a expressão:
r(r-1)-6r+10 = r^{2}-r-6r+10 = r^{2}-7r+10.
Igualando a zero:
r^{2}-7r+10=0.
Essa quadrática fatoriza ou pode ser resolvida pela fórmula; fatorando:
r^{2}-7r+10=(r-5)(r-2)=0.
Portanto as raízes são
r=5\qquad\text{e}\qquad r=2.

Passo 5

Concluir que \;y_{1}(x)=x^{2}\; e \;y_{2}(x)=x^{5}\; são soluções (verificação direta).
As raízes r=2 e r=5 geram as soluções potenciais x^{2} e x^{5}. Para demonstrar explicitamente que elas satisfazem a equação, substituo-as uma a uma:
Para y_{1}(x)=x^{2}:
y_{1}'=2x,\qquad y_{1}''=2.
Substituindo:
x^{2}\cdot 2 -6x\cdot(2x)+10\cdot x^{2}=2x^{2}-12x^{2}+10x^{2}=0.
Logo y_{1} satisfaz a equação.
Para y_{2}(x)=x^{5}:
y_{2}'=5x^{4},\qquad y_{2}''=20x^{3}.
Substituindo:
x^{2}\cdot(20x^{3})-6x\cdot(5x^{4})+10\cdot x^{5}=20x^{5}-30x^{5}+10x^{5}=0.
Logo y_{2} também satisfaz a equação. Assim mostramos diretamente que ambas são soluções, provando (a).

Passo 6

Verificar independência linear das soluções (importante para formar a solução geral).
Para que a combinação linear C_{1}y_{1}+C_{2}y_{2} seja a solução geral, y_{1} e y_{2} devem ser linearmente independentes. Calculamos o Wronskiano:
W(y_{1},y_{2})(x)= \begin{vmatrix} y_{1} & y_{2}\\[4pt] y_{1}' & y_{2}' \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} x^{2} & x^{5}\\[4pt] 2x & 5x^{4} \end{vmatrix}.
Calculando o determinante:
W(x)=x^{2}\cdot 5x^{4}-x^{5}\cdot 2x =5x^{6}-2x^{6}=3x^{6}.
Como W(x)=3x^{6}\neq 0 para todo x\neq 0, as funções são linearmente independentes em qualquer intervalo que não contenha 0. Portanto formam uma base de soluções.]

Passo 7

Escrever a solução geral da equação homogênea.
Pelo acima, a solução geral em um intervalo que não contenha 0 é
y(x)=C_{1}x^{2}+C_{2}x^{5},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias.

Passo 8

Aplicar as condições iniciais para determinar C_{1} e C_{2}.
Calcule a derivada geral:
y'(x)=2C_{1}x+5C_{2}x^{4}.
Avalie em x=1 usando as condições y(1)=3 e y'(1)=3:
y(1)=C_{1}\cdot 1^{2}+C_{2}\cdot 1^{5}=C_{1}+C_{2}=3,
y'(1)=2C_{1}\cdot 1+5C_{2}\cdot 1=2C_{1}+5C_{2}=3.
Temos o sistema linear
\begin{cases} C_{1}+C_{2}=3,\\[4pt] 2C_{1}+5C_{2}=3. \end{cases}]

Passo 9

Resolver o sistema para C_{1} e C_{2}.
Da primeira equação C_{1}=3-C_{2}. Substituindo na segunda:
2(3-C_{2})+5C_{2}=3.
Desenvolvendo:
6-2C_{2}+5C_{2}=3\quad\Rightarrow\quad 6+3C_{2}=3.
Isolando C_{2}:
3C_{2}=3-6=-3\quad\Rightarrow\quad C_{2}=-1.
Então
C_{1}=3-C_{2}=3-(-1)=4.

Passo 10

Escrever a solução particular do problema de valor inicial e comentar domínio.
Substituindo as constantes na solução geral obtemos a solução que satisfaz as condições iniciais:
y(x)=4x^{2}-x^{5}.
Observação sobre domínio: a equação original é singular em x=0 (coeficiente x^{2} de y'' zera), portanto as soluções ditas valem em qualquer intervalo que não contenha 0, por exemplo em (0,\infty) ou (-\infty,0). As condições em x=1 (positivo) fazem sentido e definem unicamente a solução em torno de x=1.

Resposta

(a) y_{1}(x)=x^{2} e y_{2}(x)=x^{5} são soluções da equação dada.
(b) y(x)=4x^{2}-x^{5}

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