(a) Mostrar que \;y_{1}(x)=x^{2}\;\) e \(\;y_{2}(x)=x^{5}\;\) são soluções dessa equação.
- (b) Resolver o problema de valor inicial
\[\begin{cases} x^{2}y''-6x y'+10y=0,\\[4pt] y(1)=3,\\[4pt] y'(1)=3. \end{cases}
Informações relevantes fornecidas: a equação é dada com coeficientes que são potências de x\] (termo \(x^{2} multiplicando y'', termo x multiplicando y'), e as condições iniciais são fornecidas em x=1.]
Passo 2
Escolha do método e ideia principal (explicação didática curta).
Quando os coeficientes de uma equação linear de segunda ordem têm a forma de potências de x (como x^{2},x, constantes), uma estratégia muito eficiente é tentar soluções do tipo potência:
y(x)=x^{r},
onde r é um número a determinar. Isso porque derivadas de x^{r} voltam a ser múltiplos de x^{r}, o que transforma a equação diferencial em uma equação algébrica para r — a chamada equação indicial ou caráterística para equações de Euler-Cauchy. Vou aplicar essa ideia ao problema.
Passo 3
Derivar a equação indicial substituindo y=x^{r}.
Calcule as derivadas:
Fatorando x^{r} (que para x\neq0 é não nulo) chegamos à equação algébrica
r(r-1)-6r+10=0.
Passo 4
Resolver a equação característica para r.
Desenvolvendo a expressão:
r(r-1)-6r+10 = r^{2}-r-6r+10 = r^{2}-7r+10.
Igualando a zero:
r^{2}-7r+10=0.
Essa quadrática fatoriza ou pode ser resolvida pela fórmula; fatorando:
r^{2}-7r+10=(r-5)(r-2)=0.
Portanto as raízes são
r=5\qquad\text{e}\qquad r=2.
Passo 5
Concluir que \;y_{1}(x)=x^{2}\; e \;y_{2}(x)=x^{5}\; são soluções (verificação direta).
As raízes r=2 e r=5 geram as soluções potenciais x^{2} e x^{5}. Para demonstrar explicitamente que elas satisfazem a equação, substituo-as uma a uma:
Logo y_{2} também satisfaz a equação. Assim mostramos diretamente que ambas são soluções, provando (a).
Passo 6
Verificar independência linear das soluções (importante para formar a solução geral).
Para que a combinação linear C_{1}y_{1}+C_{2}y_{2} seja a solução geral, y_{1} e y_{2} devem ser linearmente independentes. Calculamos o Wronskiano:
Como W(x)=3x^{6}\neq 0 para todo x\neq 0, as funções são linearmente independentes em qualquer intervalo que não contenha 0. Portanto formam uma base de soluções.]
Passo 7
Escrever a solução geral da equação homogênea.
Pelo acima, a solução geral em um intervalo que não contenha 0 é
y(x)=C_{1}x^{2}+C_{2}x^{5},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias.
Passo 8
Aplicar as condições iniciais para determinar C_{1} e C_{2}.
Calcule a derivada geral:
y'(x)=2C_{1}x+5C_{2}x^{4}.
Avalie em x=1 usando as condições y(1)=3 e y'(1)=3:
Escrever a solução particular do problema de valor inicial e comentar domínio.
Substituindo as constantes na solução geral obtemos a solução que satisfaz as condições iniciais:
y(x)=4x^{2}-x^{5}.
Observação sobre domínio: a equação original é singular em x=0 (coeficiente x^{2} de y'' zera), portanto as soluções ditas valem em qualquer intervalo que não contenha 0, por exemplo em (0,\infty) ou (-\infty,0). As condições em x=1 (positivo) fazem sentido e definem unicamente a solução em torno de x=1.
Resposta
(a) y_{1}(x)=x^{2} e y_{2}(x)=x^{5} são soluções da equação dada.
(b) y(x)=4x^{2}-x^{5}