Calcule os limites abaixo:
(a) lim x 3^- 1x-3
(b) lim x 3^+ 1x-3
(c) lim x 3^+ 1(x-3)^2
(d) lim x -1^-(3x+1-5x^2-1)
(e) lim x 5^- raiz25-x^2x-5
(f) lim x 3^+ x^2-2 x+42 x-6

Passo 1

O enunciado pede para calcular seis limites que envolvem funções com possíveis indeterminações ou assíntotas verticais. Vamos usar análise de sinais e, quando necessário, fatorar ou simplificar para ver o comportamento quando x se aproxima dos pontos críticos.

Passo 2

Para
limxto3^-1x-3 e limxto3^+1x-3,
observamos que ao aproximar x de 3 pela esquerda ( x<3) tem-se x-3<0 muito próximo de zero, logo tfrac1x-3to -infty. Pela direita ( x>3) x-3>0 pequeno, então tfrac1x-3to +infty.

Passo 3

Para
limxto3^+1(x-3)^2,
note que (x-3)^2>0 e tende a zero quando xto3, portanto a fração tfrac1(x-3)^2 cresce sem limite e dá +infty.

Passo 4

Para
limxto-1^-l(3x+1-5x^2-1r),
é mais fácil somar as frações sobre o mesmo denominador:
3x+1-5(x+1)(x-1) =3(x-1)-5(x+1)(x-1) =3x-8x^2-1
Ao xto-1^-, o numerador 3x-8to3(-1)-8=-11 e o denominador x^2-1=(x+1)(x-1) é produto de (x+1)<0 pequeno por (x-1)approx -2, logo dá número positivo tendendo a zero. Assim a razão tende a -11/(0^+)=-infty.

Passo 5

Para
limxto5^-raiz25-x^2x-5,
note que 25-x^2=(5-x)(5+x). Então
raiz25-x^2x-5 =raiz5-x,raiz5+xx-5 =-raiz5+x,raiz5-x5-x =-raiz5+x,1raiz5-x
Quando xto5^-, 5+xto10 e raiz5-xto0^+, logo a expressão vai para -infty.

Passo 6

Para
limxto3^+x^2-2x+42x-6,
o numerador em x=3 vale 3^2-2cdot3+4=9-6+4=7, finito e não nulo, enquanto o denominador 2x-6=2(x-3) tende a 0^+ quando xto3^+. Portanto a fração tende a +infty.

Resposta

(a) -infty
(b) +infty
(c) +infty
(d) -infty
(e) -infty
(f) +infty

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