Calcule os limites abaixo usando o limite fundamental
(a) lim x 0 sen(6 x)2 x
(b) lim x 0 sen(5 x)sen(9 x)
(c) lim x 0 1-cos (x)2 x
(d) lim x 0 1-cos (x)x^2
(e) lim x 0 x sen(x)1-cos (x)
(f) lim h 0 sen(a+h)-sen(a)h

Passo 1

O enunciado pede calcular vários limites trigonométricos usando como base o limite fundamental
limuto0sin uu=1
além da identidade
1-cos x = 2sin^2!l(tfracx2r)
e, no item (f), a definição de derivada de sin x.

Passo 2

Para
limxto0sin(6x)2x
escrevemos
sin(6x)2x = sin(6x)6x,6x2x =3cdotsin(6x)6x
Como limxto0sin(6x)6x=1, o limite vale 3.

Passo 3

Para
limxto0sin(5x)sin(9x)
fazemos
sin(5x)sin(9x) =sin(5x)5x,9xsin(9x);59 =59,sin(5x)5x,9xsin(9x)
Cada razão sin(kx)/(kx) tende a 1, então o limite é tfrac59.

Passo 4

Para
limxto01-cos x2x
usamos 1-cos x=2sin^2(x/2), logo
1-cos x2x =2sin^2(x/2)2x =sin^2(x/2)x =l(sin(x/2)r)^2(x/2)^2,(x/2)^2x
Como sin(x/2)/(x/2)to1, sobra tfrac(x/2)^2x=x/4to0.

Passo 5

Para
limxto01-cos xx^2
mesma identidade dá
1-cos xx^2 =2sin^2(x/2)x^2 =2gl(sin(x/2)x/2gr)^!214 to2cdot1cdot14=12

Passo 6

Para
limxto0xsin x1-cos x
escrevemos
xsin x1-cos x =sin xl(1-cos xr)/x =sin xl(2sin^2(x/2)r)/x =sin xx/2cdotxsin(x/2)cdot12sin(x/2)/x =2cdot1cdot1 =2
Mais direto: sin xsim x e 1-cos xsim x^2/2, daí xcdot x/(x^2/2)=2.

Passo 7

Para
limhto0sin(a+h)-sin(a)h
reconhecemos a definição de derivada de sin x em x=a, cujo valor é cos(a).

Resposta

(a) 3
(b) 59
(c) 0
(d) 12
(e) 2
(f) cos a

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