Se f(x)=x+1x-1, determine Dom(f) e calcule:
d) (f circ f)(1x)
Determine em cada caso as condições para as compostas.

Passo 1

O enunciado define a função f(x)=x+1x-1 e pede o domínio de f e o cálculo de (fcirc f)!l(tfrac1xr), incluindo as condições para que cada etapa da composição esteja bem definida. O conteúdo envolve domínio de funções e composição de funções.

Passo 2

Determinamos o domínio de f: como f(x)=tfracx+1x-1 tem denominador x-1, exigimos
x-1neq0 ;Longrightarrow; xneq1
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Dom(f)=xinRmid xneq1

Passo 3

Para calcular fl(tfrac1xr) precisamos que tfrac1x exista ( xneq0) e que tfrac1x pertença ao domínio de f ( tfrac1xneq1Rightarrow xneq1). Depois,
fl(tfrac1xr) =tfrac1x+1tfrac1x-1 =tfrac1+xxtfrac1-xx =1+x1-x

Passo 4

Agora definimos
z = fl(tfrac1xr)=1+x1-x
Para que f(z) exista precisamos zneq1, isto é
1+x1-xneq1 ;Longrightarrow; 1+xneq1-x ;Longrightarrow; 2xneq0 ;Longrightarrow; xneq0
Então
(fcirc f)!l(tfrac1xr) = f(z) = z+1z-1 = tfrac1+x1-x+1tfrac1+x1-x-1 = tfrac21-xtfrac2x1-x = 1x

Passo 5

Reunindo todas as restrições ( xneq0 para tfrac1x e zneq1, e xneq1 para tfrac1xneq1), o domínio de (fcirc f)!l(tfrac1xr) é
xinRmid xneq0,;xneq1,
e a expressão vale tfrac1x.

Resposta

Dom(f)=xinRmid xneq1
(fcirc f)!l(tfrac1xr)=tfrac1x, com domínio xinRmid xneq0,;xneq1.

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