Verifique:
a) tgh(x pm y)=tgh(x) pm tgh(y)1 pm tgh(x) tgh(y)

Passo 1

O enunciado nos pede para verificar a fórmula de soma e diferença da tangente hiperbólica, ou seja,
tgh(xpm y) =tgh(x)pm tgh(y)1pm tgh(x),tgh(y)
Para isso, vamos usar que
tgh(u)=sinh(u)cosh(u)
e as fórmulas de soma para sinh e cosh.

Passo 2

Escrevendo diretamente em termos de sinh e cosh, temos
sinh(xpm y)=sinh(x)cosh(y)pmcosh(x)sinh(y),
cosh(xpm y)=cosh(x)cosh(y)pmsinh(x)sinh(y)
Logo,
tgh(xpm y) =sinh(xpm y)cosh(xpm y) =sinh(x)cosh(y)pmcosh(x)sinh(y) cosh(x)cosh(y)pmsinh(x)sinh(y)

Passo 3

Para revelar as tgh, dividimos numerador e denominador por cosh(x),cosh(y):
sinh(x)cosh(y)pmcosh(x)sinh(y) cosh(x)cosh(y)pmsinh(x)sinh(y) =dfracsinh(x)cosh(x)pmdfracsinh(y)cosh(y) 1pmdfracsinh(x)cosh(x);dfracsinh(y)cosh(y)

Passo 4

Reconhecendo que dfracsinh(x)cosh(x)=tgh(x) e dfracsinh(y)cosh(y)=tgh(y), obtemos finalmente
tgh(xpm y) =tgh(x)pmtgh(y)1pmtgh(x),tgh(y)

Resposta

A identidade está verificada.

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