Se f(x)=x+1x-1, determine Dom(f) e calcule:
c) (f circ f)(11-x)
Determine em cada caso as condições para as compostas.

Passo 1

O enunciado define a função f(x)=x+1x-1. Vamos precisar de noções de domínio de função racional e de composição de funções para resolver.

Passo 2

Primeiro, o domínio de f é o conjunto de todos os x reais que não anulam o denominador. Temos:
x-1neq0
Logo,
Dom(f)=Rsetminus1

Passo 3

Para a composição fcirc f, o domínio é o conjunto de todos os x em Dom(f) tais que f(x) também pertença a Dom(f). Como f(x)=1 não tem solução real (seria x+1=x-1 impossível), segue que
f(x)neq1forall xneq1
Portanto,
Dom(fcirc f)=Dom(f)=Rsetminus1

Passo 4

Agora vamos calcular fl(tfrac11-xr). Primeiro note as restrições para esse passo:
  1. 1-xneq0 (senão a fração não existe), ou seja, xneq1.
  2. tfrac11-xneq1, para estar em Dom(f), isto é, xneq0.
    Feita a ressalva,
fl(11-xr)=11-x+111-x-1 =1+(1-x)1-x1-(1-x)1-x =2-x1-xx1-x =2-xx

Passo 5

Em seguida calculamos f desse resultado. Defina B=tfrac2-xx. Então,
f(B)=B+1B-1 =2-xx+12-xx-1 =2-x+xx2-x-xx =2x2-2xx =22(1-x) =11-x

Passo 6

As restrições finais para que todo o processo faça sentido são:
xneq1 (para 1-xneq0 e para o domínio de f).
xneq0 (para que 1/(1-x)neq1 e fique em Dom(f)).

Resposta

Dom(f)=Rsetminus1 e
(fcirc f)l(tfrac11-xr)=tfrac11-x, válido para xneq0 e xneq1.

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