Calcule os limites abaixo, caso exista.
\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{x^{3}-3 x^{2}+2}{2 x^{3}-x^{2}+x}

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
\lim_{x\to-\infty}\frac{x^{3}-3x^{2}+2}{2x^{3}-x^{2}+x}.
O conteúdo é o limite de quociente de polinômios, onde os termos de maior grau dominam o comportamento quando x cresce em módulo.

Passo 2

Para expor o comportamento dominante, dividimos numerador e denominador por x^{3}:
\frac{x^{3}-3x^{2}+2}{2x^{3}-x^{2}+x} =\frac{x^{3}/x^{3}-3x^{2}/x^{3}+2/x^{3}}{2x^{3}/x^{3}-x^{2}/x^{3}+x/x^{3}} =\frac{1-\tfrac{3}{x}+\tfrac{2}{x^{3}}}{2-\tfrac{1}{x}+\tfrac{1}{x^{2}}}.

Passo 3

Agora avaliamos o limite de cada termo à medida que x\to-\infty. Note que \tfrac{1}{x}\to0, \tfrac{1}{x^{2}}\to0 e \tfrac{1}{x^{3}}\to0. Assim,
1-\tfrac{3}{x}+\tfrac{2}{x^{3}}\to1 \quad\text{e}\quad 2-\tfrac{1}{x}+\tfrac{1}{x^{2}}\to2.

Passo 4

Portanto o limite do quociente é simplesmente a razão dos coeficientes principais:
\lim_{x\to-\infty}\frac{x^{3}-3x^{2}+2}{2x^{3}-x^{2}+x} =\frac{1}{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{2}

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