Verifique se a função abaixo é contínua no ponto indicado:
f(x)=\left\{\begin{array}{c} \frac{x^{2}-1}{x-1}, \text { se } x<1 \\ x^{2}-2 x+2, \text { se } x \geq 1 \end{array} \quad \text { em } x=1\right.

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)=\begin{cases} \frac{x^{2}-1}{x-1}, & x<1,\\\ x^{2}-2x+2, & x\ge1, \end{cases}
e pede para verificar se f é contínua em x=1. Para isso, vamos usar a definição de continuidade em x=1:
\lim_{x\to1^-}f(x)=\lim_{x\to1^+}f(x)=f(1).

Passo 2

Calcular f(1) usando a parte do ramo x\ge1:
f(1)=1^{2}-2\cdot1+2=1-2+2=1.

Passo 3

Calcular o limite pela esquerda:
\lim_{x\to1^-}\frac{x^{2}-1}{x-1}.
Para x\neq1 fatoramos o numerador:
\frac{x^{2}-1}{x-1} =\frac{(x-1)(x+1)}{x-1} =x+1.
Logo
\lim_{x\to1^-}f(x) =\lim_{x\to1^-}(x+1) =2.

Passo 4

Calcular o limite pela direita:
\lim_{x\to1^+}\bigl(x^{2}-2x+2\bigr) =1^{2}-2\cdot1+2 =1.

Passo 5

Comparando os valores obtidos:
\lim_{x\to1^-}f(x)=2,
\lim_{x\to1^+}f(x)=1,
e f(1)=1. Como
\lim_{x\to1^-}f(x)\neq\lim_{x\to1^+}f(x),
o limite \lim_{x\to1}f(x) não existe e, portanto, f não é contínua em x=1.

Resposta

A função não é contínua em x=1.

Exercícios relacionados