Calcule os limites abaixo, caso exista.
\lim _{x \rightarrow 2} \frac{2^{x}-4}{x-2}

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
\lim_{x\to2}\frac{2^x-4}{x-2}.
Esse tipo de limite costuma gerar a indeterminação \tfrac{0}{0} e podemos resolvê-lo usando a regra de l’Hôpital ou interpretando-o como a definição de derivada em um ponto.

Passo 2

Vamos verificar a forma do limite ao substituir x=2 diretamente no numerador e no denominador. Temos
2^2 - 4 = 4 - 4 = 0
e
2 - 2 = 0,
logo obtemos a indeterminação \tfrac{0}{0}.

Passo 3

Pela regra de l’Hôpital, se
\lim_{x\to a}f(x)=0 \quad\text{e}\quad \lim_{x\to a}g(x)=0,
então
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)} =\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)},
desde que o limite do quociente das derivadas exista.

Passo 4

Calculamos as derivadas de f(x)=2^x-4 e g(x)=x-2:
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(2^x\bigr)=2^x\ln 2,
g'(x)=\frac{d}{dx}(x-2)=1.
Logo, aplicando l’Hôpital,
\lim_{x\to2}\frac{2^x-4}{x-2} =\lim_{x\to2}\frac{2^x\ln 2}{1} =\lim_{x\to2}2^x\ln 2.

Passo 5

Como a função exponencial é contínua, basta substituir x=2:
\lim_{x\to2}2^x\ln 2 =2^2\ln 2 =4\ln 2.

Resposta

4\ln 2

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