(1,5) Mostre que a equação x^{3}=2+3 x possui uma raiz real.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que a equação
x^3 = 2 + 3x
tem pelo menos uma solução real.
O conteúdo que vamos usar é o Teorema do Valor Intermediário (também chamado de Teorema de Bolzano) para funções contínuas, além de observarmos diretamente que, se encontrarmos um x que satisfaça a igualdade, já mostramos a existência da raiz.

Passo 2

Definimos a função
f(x) = x^3 - 3x - 2.
Note que f é um polinômio (logo contínua em todo \mathbb{R}) e que f(x)=0 equivale à equação original.

Passo 3

Vamos avaliar f em dois pontos simples:
f(1) = 1^3 - 3\cdot1 - 2 = 1 - 3 - 2 = -4<0,
f(2) = 2^3 - 3\cdot2 - 2 = 8 - 6 - 2 = 0.

Passo 4

Como f(2)=0, concluímos imediatamente que x=2 é uma raiz de f(x)=0. Em outras palavras, 2^3 = 2 + 3\cdot2, logo x=2 é uma solução real da equação dada.

Resposta

A equação x^3 = 2 + 3x possui a raiz real x=2.

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