Calcule os limites abaixo, caso existam:
lim (x, y) (0,0) x^2-2 x y+5 y^23 x^2+4 y^2

Passo 1

O enunciado pede o limite
lim(x,y)to(0,0) x^2-2xy+5y^23x^2+4y^2
Para verificar se esse limite existe, vamos analisar valores ao longo de retas passando pela origem, isto é, usar o caminho y=mx.

Passo 2

Substituindo y=mx na função, temos
x^2-2x(mx)+5(mx)^23x^2+4(mx)^2 =x^2-2m x^2+5m^2x^23x^2+4m^2x^2
Agora fatoramos x^2 em numerador e denominador:

Passo 3

x^2(1-2m+5m^2)x^2(3+4m^2) =1-2m+5m^23+4m^2
Isso mostra que o valor do limite ao longo da reta y=mx depende de m.

Passo 4

Por exemplo, para m=0 obtemos
1-0+03+0=13,
enquanto para m=1 obtemos
1-2+53+4=47
Como tfrac13neqtfrac47, o limite varia conforme o caminho escolhido.

Resposta

O limite não existe.

Exercícios relacionados