Usando as coordenadas polares (x=r cos theta, y=r sen theta), calcule lim (x, y) (0,0) x^3-y^3x^2+y^2

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite da função de duas variáveis
x^3-y^3x^2+y^2
quando (x,y)to(0,0), usando coordenadas polares (x=rcostheta,,y=rsintheta). O conteúdo aqui é limite em funções de duas variáveis e o truque é expressar tudo em termos de r e theta.

Passo 2

Em coordenadas polares temos
(x,y)=(rcostheta,rsintheta)
Então o numerador fica
x^3-y^3=(rcostheta)^3-(rsintheta)^3 =r^3(cos^3theta-sin^3theta)
e o denominador
x^2+y^2=r^2(cos^2theta+sin^2theta) =r^2

Passo 3

Substituindo na fração:
x^3-y^3x^2+y^2 =r^3(cos^3theta-sin^3theta)r^2 =r,(cos^3theta-sin^3theta)

Passo 4

Ao fazer rto0, o fator r anula todo o produto, pois cos^3theta-sin^3theta é sempre limitado. Logo o valor da expressão tende a zero, independente de theta.

Resposta

0

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