Determine as equaçōes paramétricas para a reta tangente à curva dada pelas equações paramétricas, no ponto especificado.
x=raizr^2+3 ; y=ln (r^2+3) ; z=r ; (2, ln 4,1)

Passo 1

O enunciado dá uma curva no espaço definida por
x=raizr^2+3, y=lnl(r^2+3r), z=r
e pede as equações paramétricas da reta tangente a essa curva no ponto l(2,ln 4,1r).
Conteúdo: derivada de curva paramétrica e equação da reta tangente em um ponto.

Passo 2

Para achar o valor do parâmetro em que a curva passa por l(2,ln4,1r), usamos z=r.
Logo,
r0=1
Verificamos que com r0=1 temos x=raiz1+3=2 e y=ln(1+3)=ln4, conferindo o ponto.

Passo 3

O vetor tangente à curva é dado por l(x'(r),y'(r),z'(r)r). Calculamos:
x'(r)=ddrraizr^2+3 =12raizr^2+3cdot2r =rraizr^2+3,
y'(r)=ddrlnl(r^2+3r) =1r^2+3cdot2r =2rr^2+3,
z'(r)=ddrr=1

Passo 4

Avaliaremos o vetor tangente em r0=1:
x'(1)=1raiz1+3=12, y'(1)=21+3=12, z'(1)=1
Então o vetor direção da reta tangente é l(tfrac12,tfrac12,1r).

Passo 5

A equação paramétrica da reta que passa por (x0,y0,z0)=(2,ln4,1) com direção l(a,b,cr) é
x= x0+a,t, y= y0+b,t, z= z0+c,t
Substituindo a=tfrac12, b=tfrac12, c=1 e o ponto dado, obtemos:

Resposta

x=2+tfrac12,t, y=ln4+tfrac12,t, z=1+t

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