Dada a função f(x, y)=|x|+|y|x, determine:
a) a imagem de (1a, a) para a in R-e a neq 0.
b) O domínio da função

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=|x|+|y|x
e pede:
– (a) o valor de f no ponto l(tfrac1a,ar) quando ainR-setminus0;
– (b) o domínio de f.
Vamos usar propriedades de valor absoluto e a condição xneq0 (pois x está no denominador).

Passo 2

Substituímos ,x=tfrac1a e y=a em f:
fl(tfrac1a,ar) =l|tfrac1ar|+|a|tfrac1a

Passo 3

Como a<0, temos |a|=-a e l|tfrac1ar|=tfrac1|a|=tfrac1-a=-tfrac1a. Logo o numerador fica
l|tfrac1ar|+|a| =-tfrac1a+(-a) =-l(tfrac1a+ar)

Passo 4

Dividindo pelo denominador tfrac1a, obtemos
fl(tfrac1a,ar) =-l(tfrac1a+ar)tfrac1a =-l(tfrac1a+ar)cdot a =-(1+a^2)

Passo 5

Como aneq0, segue a^2>0 e assim
-(1+a^2)<-1
Portanto, ao variar a em R-setminus0, os valores de f(tfrac1a,a) percorrem o intervalo (-infty,-1).

Passo 6

Para o domínio de f, notamos que |x| e |y| são definidos para todo (x,y)inR^2, mas a divisão exige xneq0. Logo
Dom(f)=l(x,y)inR^2mid xneq0r

Resposta

a) fl(tfrac1a,ar)=-(1+a^2), cuja imagem, para ainR-setminus0, é (-infty,-1).
b) Dom(f)=(x,y)inR^2mid xneq0.

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