Calcule os limites abaixo, caso existam:
Passo 1
O enunciado pede o limite quando
tende a
da função
Informações relevantes fornecidas:
- A expressão depende apenas de
. - O ponto de interesse é
, logo .
A partir daqui vamos calcular esse limite e mostrar passo a passo por que ele existe e qual é seu valor.
Passo 2
Faça a substituição natural
onde
e
quando
. Assim a expressão fica, em função de
,
Isso simplifica o problema para um limite unidimensional quando
.
Passo 3
Use a identidade trigonométrica básica
valendo para todo
. Aplicando com
obtemos
Passo 4
Reescrevemos a expressão de modo conveniente. Seja
. Então
Mas para uma estimativa elementar não precisamos do limite
— usamos a desigualdade simples e muito conhecida
que segue da geometria ou do desenvolvimento em série. Aplicando com
temos
. Assim
Passo 5
Temos a cadeia de desigualdades, válida para
pequeno (e na verdade para todo
):
Como
implica
, pelo Teorema do Aperto (squeeze theorem) concluímos que
Portanto o limite bidimensional original também existe e vale
.