Calcule os limites abaixo, caso existam:
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{1-\cos \left(x^{2}+y^{2}\right)}{x^{2}+y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede o limite quando (x,y) tende a (0,0) da função
\frac{1-\cos\left(x^{2}+y^{2}\right)}{x^{2}+y^{2}}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A expressão depende apenas de x^{2}+y^{2}.
  • O ponto de interesse é (x,y)=(0,0), logo x^{2}+y^{2}\to 0.
    A partir daqui vamos calcular esse limite e mostrar passo a passo por que ele existe e qual é seu valor.

Passo 2

Faça a substituição natural
r^{2}=x^{2}+y^{2},
onde r\ge 0 e r\to 0 quando (x,y)\to(0,0). Assim a expressão fica, em função de r,
\frac{1-\cos\left(r^{2}\right)}{r^{2}}.
Isso simplifica o problema para um limite unidimensional quando r\to 0^+.

Passo 3

Use a identidade trigonométrica básica
1-\cos t = 2\sin^{2}\!\left(\frac{t}{2}\right),
valendo para todo t\in\mathbb{R}. Aplicando com t=r^{2} obtemos
\frac{1-\cos\left(r^{2}\right)}{r^{2}}=\frac{2\sin^{2}\!\left(\dfrac{r^{2}}{2}\right)}{r^{2}}.

Passo 4

Reescrevemos a expressão de modo conveniente. Seja a=\dfrac{r^{2}}{2}. Então
\frac{2\sin^{2}\!\left(\dfrac{r^{2}}{2}\right)}{r^{2}}=\frac{\sin^{2}(a)}{a}=a\left(\frac{\sin a}{a}\right)^{2}.
Mas para uma estimativa elementar não precisamos do limite \sin a/a — usamos a desigualdade simples e muito conhecida
|\sin z|\le |z|\quad\text{para todo }z\in\mathbb{R},
que segue da geometria ou do desenvolvimento em série. Aplicando com z=a temos \sin^{2}(a)\le a^{2}. Assim
0\le \frac{1-\cos\left(r^{2}\right)}{r^{2}}=\frac{2\sin^{2}\!\left(\dfrac{r^{2}}{2}\right)}{r^{2}}\le \frac{2\left(\dfrac{r^{2}}{2}\right)^{2}}{r^{2}}=\frac{r^{2}}{2}.

Passo 5

Temos a cadeia de desigualdades, válida para r pequeno (e na verdade para todo r):
0\le \frac{1-\cos\left(r^{2}\right)}{r^{2}}\le \frac{r^{2}}{2}.
Como r\to 0 implica \dfrac{r^{2}}{2}\to 0, pelo Teorema do Aperto (squeeze theorem) concluímos que
\lim_{r\to 0^{+}}\frac{1-\cos\left(r^{2}\right)}{r^{2}}=0.
Portanto o limite bidimensional original também existe e vale 0.

Resposta

0

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