Calcule os limites abaixo, caso não exista justifique.
lim n infty 1+10^n9^n

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para calcular o limite quando n tende ao infinito da expressão 1 + 10^n9^n . Aqui, estamos lidando com sequências numéricas e limites, que são conceitos da Matemática. Para resolver, vamos precisar entender como o comportamento das potências de números diferentes se comporta quando o expoente cresce indefinidamente.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a fração 10^n9^n . Podemos simplificar essa expressão usando propriedades de potências. Quando temos a mesma base com expoentes diferentes, podemos dividir as potências subtraindo os expoentes. Mas no nosso caso, as bases são diferentes. Então, vamos reescrever a expressão:
10^n9^n = ( 109 )^n

Passo 3

Agora, a expressão do limite fica:
limn infty ( 1 + ( 109 )^n )
Vamos analisar o termo ( 109 )^n . Como 109 > 1 , sabemos que, quando uma base maior que 1 é elevada a uma potência que tende ao infinito, o resultado também tende ao infinito. Portanto:
limn infty ( 109 )^n = infty

Passo 4

Agora, somando 1 a um termo que tende ao infinito, o resultado final também tende ao infinito:
limn infty ( 1 + ( 109 )^n ) = infty

Resposta

O limite é infinito.

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