Resolva as seguintes equações diferenciais pelo método do fator integrante:
y^prime-yx=x^2

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
y' - yx = x^2
pelo método do fator integrante. Trata-se de uma EDO linear de primeira ordem na forma
y' + p(x),y = q(x)

Passo 2

Identificamos
p(x) = -1x, q(x) = x^2
O fator integrante é dado por
mu(x) = expl(integral p(x),dxr) = expl(-integral 1x,dxr) = expl(-ln|x|r) = 1x

Passo 3

Multiplicamos a EDO por mu(x)=1/x:
1xy' - 1x^2y = x
O lado esquerdo é a derivada do produto mu(x),y=y/x, pois
ddxl(yxr) = y'x - yx^2
Logo obtemos
ddxl(yxr) = x

Passo 4

Integramos ambos os lados em relação a x:
integral ddxl(yxr),dx = integral x,dx Longrightarrow yx = x^22 + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Isolando y, temos
y = xl(x^22 + Cr) = x^32 + C,x

Resposta

boxedy(x) = x^32 + C,x

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