Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno do eixo x.
y=x^2-1, y=0, x=0, x=2

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar em torno do eixo x a região limitada por
y = x^2 - 1, y = 0, x=0, x=2
Esse é um problema de Cálculo de volumes de revolução, onde vamos usar o método dos discos (ou anéis), já que a rotação é em torno do eixo x.

Passo 2

Para cada xin[0,2], a seção transversal perpendicular ao eixo x é um disco de raio igual à distância da curva até o eixo x. Essa distância é
R(x)=l|yr|=l|x^2-1r|
Como o outro limite da região é o próprio eixo x (onde y=0), não há “buraco” no disco e a área da seção é
A(x)=pil(R(x)r)^2=pil(x^2-1r)^2
Logo, o volume é
V=integral0^2A(x),dx =piintegral0^2(x^2-1)^2,dx

Passo 3

Vamos calcular a integral
integral0^2(x^2-1)^2,dx =integral0^2l(x^4-2x^2+1r),dx =[x^55-2x^33+x]0^2
Em x=2 isso vale
2^55-2cdot2^33+2 =325-163+2 =96-80+3015 =4615,
e em x=0 dá zero. Portanto
integral0^2(x^2-1)^2,dx=4615

Passo 4

Substituindo em V=piintegral0^2(x^2-1)^2,dx, obtemos
V=picdot4615=46pi15

Resposta

46pi15

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