Calcule os limites abaixo.
egin{equation*}
\lim _{x \rightarrow \infty} \sqrt{x^{2}+1}-x
\end{equation*}

Passo 1

Beleza, o enunciado manda: calcular
limx to infty raizx^2 + 1;-;x
Isso é um problema de limites, mais especificamente de forma indeterminada “∞–∞”. Pra resolver, a gente vai usar uma técnica de álgebra: racionalizar a expressão (multiplicar por conjugado) e depois aplicar propriedades de limite.

Passo 2

Primeiro, observa que quando xtoinfty, temos
raizx^2+1sim x,
logo a expressão fica “um número grande menos outro grande” – isso é a indeterminação do tipo infty-infty. Não dá pra simplesmente dizer que dá zero; a gente precisa reescrever de um jeito que dê pra simplificar.

Passo 3

Racionalização! Multiplica e divide por raizx^2+1+x (o conjugado de raizx^2+1-x):
raizx^2+1-x =l(raizx^2+1-xr)cdotraizx^2+1+xraizx^2+1+x =(raizx^2+1)^2 - x^2raizx^2+1+x
No numerador, (raizx^2+1)^2 - x^2 = x^2+1 - x^2 = 1. Então virou
1raizx^2+1+x

Passo 4

Agora temos
limxtoinfty 1raizx^2+1+x
Pra enxergar melhor o comportamento quando x cresce muito, factoriza x dentro da raiz:
raizx^2+1 = xraiz1+1x^2
Então o denominador fica
raizx^2+1+x = xraiz1+tfrac1x^2 + x = xl(raiz1+tfrac1x^2 + 1r)

Passo 5

Substituindo de volta no limite:
limxtoinfty 1xl(raiz1+tfrac1x^2 + 1r)
Como xtoinfty, a parte raiz1+1/x^2to1. Logo
raiz1+tfrac1x^2 + 1 ;longrightarrow; 1+1 = 2
Fica então
limxtoinfty 1xcdot 2 ;=; limxtoinfty 12x ;=; 0

Resposta

0

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