Calcule os limites abaixo.
egin{equation*}
\lim _{x \rightarrow \infty} \sqrt{x^{2}+1}-x
\end{equation*}
egin{equation*}
\lim _{x \rightarrow \infty} \sqrt{x^{2}+1}-x
\end{equation*}
Passo 1
Beleza, o enunciado manda: calcular
Isso é um problema de limites, mais especificamente de forma indeterminada “∞–∞”. Pra resolver, a gente vai usar uma técnica de álgebra: racionalizar a expressão (multiplicar por conjugado) e depois aplicar propriedades de limite.
Passo 2
Primeiro, observa que quando
, temos
logo a expressão fica “um número grande menos outro grande” – isso é a indeterminação do tipo
Passo 3
Racionalização! Multiplica e divide por
(o conjugado de
):
No numerador,
. Então virou
Passo 4
Agora temos
Pra enxergar melhor o comportamento quando
cresce muito, factoriza
dentro da raiz:
Então o denominador fica
Passo 5
Substituindo de volta no limite:
Como
, a parte
. Logo
Fica então