Calcule os limites abaixo, se existirem.
lim x 0 3 x^3-x^2+5 x+1x(2 x^2+x-2).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular o limite da função 3 x^3-x^2+5 x+1x(2 x^2+x-2) quando x se aproxima de 0. Isso está dentro do conteúdo de Cálculo de Limites, onde a gente analisa o comportamento das funções perto de certos pontos. Para resolver isso, vamos precisar entender como simplificar a expressão e verificar o que acontece com o numerador e o denominador conforme x se aproxima de 0.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o numerador e o denominador separadamente quando x se aproxima de 0.
  • Numerador: 3 x^3 - x^2 + 5 x + 1
    • Se substituirmos x = 0, fica 3(0)^3 - (0)^2 + 5(0) + 1 = 1.
  • Denominador: x(2 x^2 + x - 2)
    • Substituindo x = 0, temos 0 times (2(0)^2 + 0 - 2) = 0 times (-2) = 0.
Então, o numerador tende a 1 e o denominador tende a 0 quando x se aproxima de 0.

Passo 3

Como o denominador está tendendo a 0, precisamos entender de qual lado ele está se aproximando. Vamos analisar:
  • Quando x se aproxima de 0 pela direita ( x to 0^+):
    • x é positivo, então 2 x^2 + x - 2 fica próximo de -2 (já que os termos com x são bem pequenos).
    • Então, x(2 x^2 + x - 2) approx x(-2), que é negativo e está se aproximando de 0.
    • O numerador é 1, que é positivo. Então, a fração 1um número negativo muito pequenoú tende a -infty.
  • Quando x se aproxima de 0 pela esquerda ( x to 0^-):
    • x é negativo, então 2 x^2 + x - 2 ainda fica próximo de -2.
    • Então, x(2 x^2 + x - 2) approx x(-2), que é positivo e está se aproximando de 0.
    • O numerador é 1, que é positivo. Então, a fração 1um número positivo muito pequenoú tende a +infty.

Passo 4

Como as duas abordagens (pela direita e pela esquerda) resultam em -infty e +infty respectivamente, os limites laterais não são iguais. Isso significa que o limite geral não existe.

Resposta

O limite não existe.

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