Calcule os limites abaixo, se existirem.
\lim _{x \rightarrow 2} \frac{x^{2}-9}{2 x^{3}+7 x+3}

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
\lim_{x\to2}\frac{x^{2}-9}{2x^{3}+7x+3}
Isso envolve o limite de um quociente de polinômios. Sabemos que um polinômio é contínuo em todo ponto e, portanto, se o denominador não for zero em x=2, podemos usar a continuidade para substituir diretamente x=2.

Passo 2

Verificamos o valor do denominador em x=2:
2\cdot2^{3}+7\cdot2+3 = 2\cdot8 +14 +3 =16 +14 +3 =33 \neq 0.
Como o denominador não se anula, a função é contínua em x=2 e o limite existe igual ao valor da função nesse ponto.

Passo 3

Aplicando a substituição x=2 no numerador e no denominador, obtemos
\lim_{x\to2}\frac{x^{2}-9}{2x^{3}+7x+3} = \frac{2^{2}-9}{2\cdot2^{3}+7\cdot2+3} = \frac{4-9}{33} = \frac{-5}{33}.

Resposta

\lim_{x\to2}\frac{x^{2}-9}{2x^{3}+7x+3} = -\frac{5}{33}.

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