Sabendo que \lim _{x \rightarrow c} f(x)=-3, \lim _{x \rightarrow a} g(x)=0 e \lim _{x \rightarrow a} l(x)=5. Encontre, se existir, os seguintes limites.
\lim _{x \rightarrow 0} f(f(x)+\ln (x))

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{x \to 0} f\bigl(f(x) + \ln(x)\bigr),
sabendo apenas que
\lim_{x \to c} f(x) = -3,
além de limites de outras funções que não entram nesta parte da questão. O conteúdo necessário aqui é o estudo de limites de composição e o comportamento de \ln(x) quando x \to 0^+.

Passo 2

Observamos que para \ln(x) existe domínio apenas para x>0, logo o limite é lateral pela direita. Quando x \to 0^+, temos
\ln(x) \to -\infty.
Não há indicação de que f(x) seja capaz de compensar esse -\infty fazendo f(x)\to+\infty. Em particular, mesmo que f(x) seja finita ou apresente limite finito, a soma
f(x) + \ln(x)
tenderá a -\infty.

Passo 3

Para usar o fato \lim_{t\to c} f(t)=-3 numa composição f(\text{algo}), seria preciso que o “algo” se aproximasse de c. Aqui, no entanto,
f(x) + \ln(x) \;\longrightarrow\; -\infty \quad\text{e não}\quad c.ã
Como não sabemos o comportamento de f(t) quando t\to -\infty, não podemos atribuir nenhum valor ao limite da composição.

Resposta

O limite \displaystyle \lim_{x \to 0} f\bigl(f(x) + \ln(x)\bigr) não existe.

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