Calcule os limites abaixo, se existirem.
\lim _{x \rightarrow 4} \frac{x^{2}-81}{\sqrt{x}-3}

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
\lim_{x\to 4}\frac{x^{2}-81}{\sqrt{x}-3}.
O conteúdo envolvido é o uso da continuidade e da substituição direta para limites de funções envolvendo raiz quadrada, sempre verificando se o denominador não se anula na vizinhança do ponto.

Passo 2

Vamos testar a substituição direta em x=4. Calculamos o numerador e o denominador separadamente:
\text{numerador} = 4^{2}-81 = 16 - 81 = -65,
\text{denominador} = \sqrt{4}-3 = 2 - 3 = -1.
Como o denominador não é zero em x=4, a função é contínua ali e o limite é simplesmente o valor da expressão em x=4.

Resposta

\lim_{x\to 4}\frac{x^{2}-81}{\sqrt{x}-3} = 65.

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