Seja G um grupo finito. Se H é uma parte não vazia de
fechada para a operação de
, prove que
é um subgrupo de G.
Passo 1
O enunciado diz que
é um grupo finito e que
é não vazia e fechada na operação de
. Queremos mostrar que
é um subgrupo de
. Ou seja, a partir de encerramento, precisamos provar que
contém o elemento identidade de
e é fechado por inversos.
Passo 2
Como
é não vazia, tome algum elemento
. Pela fecho de
sob a operação de
, temos por indução que todos os produtos
pertencem a
.
Passo 3
Como
é finito, a sequência infinita
só pode assumir um número limitado de valores em
. Pelo princípio da casa dos pombos, existem índices
tais que
Multiplicando à esquerda por
(que existe em
), obtemos
Como
é produto de cópias de
, pelo fecho
. Assim,
contém o elemento identidade de
.
Passo 4
Do mesmo modo, da igualdade
segue
em
. Mas
é produto de cópias de
, logo pertence a
por fecho. Concluímos que para o mesmo
escolhido, o inverso
está em
.
Passo 5
Agora já temos em
o elemento identidade e, para cada elemento
, seu inverso
. Como também há fecho para produtos, todos os critérios de subgrupo estão satisfeitos.