Seja G um grupo finito. Se H é uma parte não vazia de G fechada para a operação de G, prove que H é um subgrupo de G.

Passo 1

O enunciado diz que G é um grupo finito e que Hsubseteq G é não vazia e fechada na operação de G. Queremos mostrar que H é um subgrupo de G. Ou seja, a partir de encerramento, precisamos provar que H contém o elemento identidade de G e é fechado por inversos.

Passo 2

Como H é não vazia, tome algum elemento hin H. Pela fecho de H sob a operação de G, temos por indução que todos os produtos
h,;h^2,;h^3,;dots
pertencem a H.

Passo 3

Como G é finito, a sequência infinita h,h^2,h^3,dots só pode assumir um número limitado de valores em G. Pelo princípio da casa dos pombos, existem índices i<j tais que
h^i = h^j
Multiplicando à esquerda por (h^i)^-1 (que existe em G), obtemos
e = h^,j-i
Como h^,j-i é produto de cópias de h, pelo fecho ein H. Assim, H contém o elemento identidade de G.

Passo 4

Do mesmo modo, da igualdade e = h^,j-i segue
h^,j-i-1 = h^-1
em G. Mas h^,j-i-1 é produto de cópias de h, logo pertence a H por fecho. Concluímos que para o mesmo h escolhido, o inverso h^-1 está em H.

Passo 5

Agora já temos em H o elemento identidade e, para cada elemento hin H, seu inverso h^-1in H. Como também há fecho para produtos, todos os critérios de subgrupo estão satisfeitos.

Resposta

H é um subgrupo de G.

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