Calcule os limites abaixo, se existirem:
lim x infty(1+e^x)^e^-x

Passo 1

O enunciado pede o cálculo de limxtoinfty(1+e^x)^e^-x. Vamos usar conhecimentos de limites envolvendo funções exponenciais e o truque de aplicar logaritmo.

Passo 2

Definimos y=(1+e^x)^e^-x e estudamos ln y. Usamos a propriedade ln(a^b)=bln a, obtendo ln y = e^-xln(1+e^x).

Passo 3

Para x grande, escrevemos ln(1+e^x)=lnl(e^x(1+e^-x)r)=x+ln(1+e^-x), usando ln(ab)=ln a+ln b.
Substituímos na expressão de ln y:
ln y=e^-xl(x+ln(1+e^-x)r)=x e^-x+e^-xln(1+e^-x)

Passo 4

Observamos que x e^-xto0 e, como ln(1+e^-x) é limitado, e^-xln(1+e^-x)to0. Portanto ln yto0.

Passo 5

Como ln yto0, segue que yto e^0=1.

Resposta

1

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