Esboçar a trajetória de uma partícula P, sabendo que seu movimento é descrito por:
\gamma_{9}(t)=(3+5 \cos t) \vec{\imath}+(2+4 \operatorname{sen} t) \vec{\jmath}

Passo 1

O enunciado pede para esboçarmos a trajetória da partícula P descrita pelo parâmetro
\gamma_{9}(t) = \bigl(3 + 5\cos t\bigr)\,\vec\imath \;+\;\bigl(2+4\sin t\bigr)\,\vec\jmath.
Este é um problema de curvas parametrizadas: identificamos a forma geométrica (que costuma ser uma elipse) e depois eliminamos o parâmetro para obter sua equação cartesiana, além de determinar centro, eixos e orientação.

Passo 2

Analisando as componentes paramétricas, temos
x(t) = 3 + 5\cos t, \quad y(t) = 2 + 4\sin t.
Daí já se vê que o ponto médio (centro da curva) é (3,2). A amplitude em x é 5 e em y é 4: sugerindo uma elipse de semieixo maior a=5 (horizontal) e semieixo menor b=4 (vertical).

Passo 3

Para eliminar o parâmetro, isolemos \cos t e \sin t:
\cos t = \frac{x-3}{5}, \qquad \sin t = \frac{y-2}{4}.
Como \cos^2t + \sin^2t =1, substituímos para obter a equação cartesiana:
\Bigl(\frac{x-3}{5}\Bigr)^2 + \Bigl(\frac{y-2}{4}\Bigr)^2 = 1.

Passo 4

Portanto, a trajetória é a elipse de centro em (3,2) e equação
\frac{(x-3)^2}{25} \;+\;\frac{(y-2)^2}{16} = 1.
O comprimento total dos eixos é 2a=10 na horizontal e 2b=8 na vertical.

Passo 5

Para saber a orientação, basta ver onde está P em t=0:
\gamma_9(0) = (3+5\cdot1,\,2+4\cdot0) = (8,2).
À medida que t aumenta a partir de 0, \cos t decresce e \sin t aumenta, de modo que a partícula gira no sentido anti-horário.

Resposta

A trajetória é a elipse centrada em (3,2) de semieixos 5 (horizontal) e 4 (vertical), dada por
\frac{(x-3)^2}{25} + \frac{(y-2)^2}{16} = 1,
com orientação anti-horária, partindo de (8,2) em t=0.

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