Esboçar a trajetória de uma partícula
, sabendo que seu movimento é descrito por:
Passo 1
O enunciado pede para esboçarmos a trajetória da partícula
descrita pelo parâmetro
Este é um problema de curvas parametrizadas: identificamos a forma geométrica (que costuma ser uma elipse) e depois eliminamos o parâmetro para obter sua equação cartesiana, além de determinar centro, eixos e orientação.
Passo 2
Analisando as componentes paramétricas, temos
Daí já se vê que o ponto médio (centro da curva) é
. A amplitude em
é
e em
é
: sugerindo uma elipse de semieixo maior
(horizontal) e semieixo menor
(vertical).
Passo 3
Para eliminar o parâmetro, isolemos
e
:
Como
, substituímos para obter a equação cartesiana:
Passo 4
Portanto, a trajetória é a elipse de centro em
e equação
O comprimento total dos eixos é
na horizontal e
na vertical.
Passo 5
Para saber a orientação, basta ver onde está
em
:
À medida que
aumenta a partir de
,
decresce e
aumenta, de modo que a partícula gira no sentido anti-horário.
Resposta
A trajetória é a elipse centrada em
de semieixos
(horizontal) e
(vertical), dada por
com orientação anti-horária, partindo de
em
.