Esboçar a trajetória de uma partícula P, sabendo que seu movimento é descrito por:
\gamma_{7}(t)=\left(t, 4,4-t^{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede para esboçar a trajetória da partícula P cuja posição em função do tempo é dada pela curva paramétrica
\gamma_{7}(t) = \bigl(x(t),\,y(t),\,z(t)\bigr) = \bigl(t,\,4,\,4 - t^{2}\bigr).
O conteúdo aqui é curva no espaço em coordenadas paramétricas. Para desenhar, precisamos entender em que plano a curva vive e qual é sua forma no plano.

Passo 2

Observe que y(t)=4 para todo t. Isso significa que a trajetória está contida no plano paralelo ao plano xz definido por
y = 4.

Passo 3

No plano y=4, podemos ignorar a coordenada y e olhar somente a projeção no plano xz. Como x(t)=t e z(t)=4 - t^{2}, temos a relação
z = 4 - x^{2}.
Isso é a equação de uma parábola no plano xz abrindo para baixo.

Passo 4

Detalhes da parábola:
  • O vértice ocorre em t=0, ou seja, no ponto \bigl(x,z\bigr)=(0,4), que em coordenadas espaciais é (0,4,4).
  • Para t\to\pm\infty, z\to -\infty, então a parábola se estende indefinidamente para baixo.
  • A orientação dado pelo parâmetro t é da esquerda para a direita quando vista no plano xz.

Resposta

A trajetória de P é a parábola
z = 4 - x^{2}
contida no plano y=4, com vértice em (0,4,4) e orientada de acordo com o aumento de t.

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