QUESTÃ0 04

Utilizando o Teste de Comparação no Limite, determine se a série dada é convergente ou divergente.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2 n^{4}+3 n^{2}}{n^{7}+2 n+1}
Resposta: Pelo Teste da Comparação no Limite, pode-se afirmar que a série dada é convergente.

Passo 1

No enunciado, temos a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2 n^{4}+3 n^{2}}{n^{7}+2 n+1}
e vamos aplicar o Teste da Comparação no Limite, que consiste em comparar o termo geral a_n com um termo b_n de uma série cuja convergência já conhecemos.

Passo 2

Observando os maiores graus em n, o numerador cresce como 2n^4 e o denominador como n^7, de modo que
a_n = \frac{2 n^{4}+3 n^{2}}{n^{7}+2 n+1}\approx \frac{2n^4}{n^7}=\frac{2}{n^3}.
Logo, escolhemos
a_n = \frac{2 n^{4}+3 n^{2}}{n^{7}+2 n+1},
b_n = \frac{1}{n^3},
sabendo que \sum b_n é uma p-série convergente (p = 3 > 1).

Passo 3

Calculamos o limite da razão:
\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n} = \lim_{n\to\infty}\frac{\frac{2 n^{4}+3 n^{2}}{n^{7}+2 n+1}}{\frac{1}{n^3}} = \lim_{n\to\infty}\frac{(2 n^{4}+3 n^{2})\,n^3}{n^{7}+2 n+1}.
Como (2 n^{4}+3 n^{2})\,n^3 = 2n^7+3n^5, temos
\lim_{n\to\infty}\frac{2n^7+3n^5}{n^7+2n+1} =2,
que é finito e positivo.

Passo 4

Pelo Teste da Comparação no Limite, se \lim_{n\to\infty}a_n/b_n\in(0,\infty) e \sum b_n converge, então \sum a_n também converge.

Resposta

A série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{2 n^{4}+3 n^{2}}{n^{7}+2 n+1} é convergente.

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