Seja F=(Fx, Fy)= (cte, cte) um campo vetorial constante em todos os pontos. Use o teorema de Green para mostrar que
ointC F cdot d r=0
sobre qualquer curva fechada simples C.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para um campo vetorial constante F=(Fx,Fy), a circulação sobre qualquer curva fechada simples C satisfaz ointCFcdot dr=0. O conteúdo principal é o Teorema de Green, que relaciona integral de linha em torno de C com integral dupla de derivadas parciais sobre a região interior de C.

Passo 2

Começando a resolução, nomeamos P(x,y)=Fx e Q(x,y)=Fy. O Teorema de Green diz que, para C simples, fechado e orientado positivamente,
ointC P,dx + Q,dy = integral duplaA l(partial Qpartial x - partial Ppartial yr),dA,
onde A é a região limitada por C. Como P e Q são constantes (campo vetorial constante), temos
partial Qpartial x = 0, partial Ppartial y = 0

Passo 3

Logo o integrando do lado direito é zero em toda a região A. Portanto
integral duplaA 0,dA = 0,
e consequentemente, pelo Teorema de Green,
ointC Fcdot dr = 0

Resposta

0

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